2.5 Sustav linearnih jednadžbi

Već je spomenuto da je problem rješavanja sustava linearnih jednadžbi jedan od najčešćih problema linearne algebre. Promotrimo na primjer sljedeći sustav

$$\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 &... ...begin{array}{c} 366 \\ 804 \\ 351 \\ \end{array} \right]$$

$$\textbf{A} \cdot \textbf{x} = \textbf{b}$$

Kada je osigurana egzistencija rješenja sustava linearnih jednadžbi postoji nekoliko pristupa za rješavanje sustava: Gaussova eliminacija, LU faktorizacija ili direktna uporaba inverzne matrice $\textbf{A}^{-1}$. Analitičko rješenje može se zapisati u obliku

$$\textbf{x} = \textbf{A}^{-1}\cdot \textbf{b}\: .$$

Diskusija o analičkom i numeričkom rješenju sustava linearnih jednadžbi izvan je interesa ovog teksta, cilj nam je pokazati kako se MATLAB može primjeniti u rješavanju ovih problema. Rješimo gornji sustav pomoću inverzne matrice:

>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 0]
A =
     1     2     3
     4     5     6
     7     8     0
>> b=[366;804;351]
b =
   366
   804
   351
>> x=inv(A)*b
x =
   25.0000
   22.0000
   99.0000

Pored korištenja inverzne matrice moguće je riješiti sustav primjenom operacije djeljenja s lijeve strane pri čemu se koristi pristup Gaussove eliminacije

>> x=A\b
x =
   25.0000
   22.0000
   99.0000

Ovaj drugi pristup određivanju rješenja češće se primjenjuje iz nekoliko razloga, jedan od osnovnih je u tome što ima manje operacija od pristupa s inverznom matricom, što ga čini bržim. Za rješavanje sustava velikih matrica drugi pristup daje točnija rješenja. Osim toga za slučaj pre-definiranog sustava (više jednadžbi od nepoznanica) pristup dijeljenem s lijeve strane pronalazi rješenje^2.1.

Zanimljivo je ovdje navesti i funkciju kojom možemo odrediti determinantu matrice

>> det(A)
ans =
    27

Od interesa mogu biti i sljedeće naredbe nad matricama eig(A) (vlastite vrijednosti i vlastiti vektori matrice), norm(A) (norma matrice), poly(A) (karakteristični polinom matrice), rank(A) (rang matrice), trace(A) (trag matrice), te specijalne matrice eye(n) (jedinična matrica dimenzije $n$), ones(n,m) (matrica dimenzije $n\times m$ sa elementima jednakim 1), zeros(n,m) (matrica dimenzije $n\times m$ sa elementima jednakim 0 - nul matrica)

... rješenje^2.1

Takvo rješenje minimizira kvadrat greške za ${\bf A\cdot x-b}$